Question

【題目】已知函數(shù)（），，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，的兩個極值點(diǎn)為，（）．

①證明：；

②若，恰為的零點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)①證明見解析；②．

【解析】

試題分析：(1)對函數(shù)求導(dǎo)，對參數(shù)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)①對函數(shù)求導(dǎo)得，得的兩根,即為方程的兩根；利用韋達(dá)定理得，，令（），由，得，兩邊同時除以，得，且，求得的取值范圍，從而證得結(jié)論；②由，為的零點(diǎn)，代入相減得，故，令（），，求導(dǎo)后利用函數(shù)的單調(diào)性求得其最小值，從而求得所求結(jié)果.

試題解析：（1）∵函數(shù)，∴，；

當(dāng)時，由解得，即當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

由解得，即當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，故，即在上單調(diào)遞增；

∴當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）①，則，

∴的兩根,即為方程的兩根；

又∵，∴，，

令（），由，得，

因?yàn)?/span>，兩邊同時除以，得，且，

故，解得或，∴，即．

②∵，為的零點(diǎn)，

∴，，

兩式相減得，

∵，

∴，

令（），，

則，在上是減函數(shù)，

∴，

即的最小值為．