Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）當(dāng)時，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）時，值域?yàn)?/span>:；時，值域?yàn)?/span>:.

【解析】

(1)由函數(shù)是奇函數(shù),利用函數(shù)的定義域?yàn)?/span>時,奇函數(shù)在0處有定義，則即可解的的值;
(2)由題意利用函數(shù)的單調(diào)性的定義加以證明函數(shù)的單調(diào)性，;
(3)由題意先求出函數(shù)的值域，令函數(shù)為利用“對勾”函數(shù)的單調(diào)性求出定義域下的函數(shù)的值域.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?/span>且函數(shù)是奇函數(shù),，

(2) 函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù).證明如下：
由（1）得，因?yàn)槎�義域?yàn)?/span>, 所以任取，且,
，

,又，,所以，
是單調(diào)遞增函數(shù)；
(3)由（2）得，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以時，，所以，

所以令,

任取，且，
則，

因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，

所以當(dāng)時，，所以，所以在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，時，，而時，，

即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時， ，

即當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)?
當(dāng)時，,
即當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)?.

綜上可得：

時，函數(shù)的值域?yàn)?.

時，函數(shù)的值域?yàn)?；

故得解.