Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a，b∈R）在x=2處的切線方程為y=9x-14．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=-e^x+k²+4k，若對任意的x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導函數(shù)，利用f（x）在x=2處的切線方程為y=9x-14，建立方程，求a，b的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的解析式，利用導數(shù)的正負可得函數(shù)的單調區(qū)間；對任意x₁∈[0，2]，均存在x₂∈[0，2]l，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，有f（x）_max＜g（x）_max，求出相應函數(shù)的最值，即可求得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）求導函數(shù)可得f′（x）=3x²-3a，
∵f（x）在x=2處的切線方程為y=9x-14，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=8-6a+b=4}\\{f′（2）=12-3a=9}\end{array}\right.$，∴a=1，b=2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x³-3x+2
∴f′（x）=3（x+1）（x-1），
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞1；由f′（x）＜0，得-1＜x＜1．
故函數(shù)f（x）單調遞減區(qū)間是（-1，1）；單調遞增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）．
∴函數(shù)f（x）在（0，1）單調遞減，在（1，2）上單調遞增，
又f（0）=2，f（2）=4，有f（0）＜f（2），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值f（x）_max=f（2）=4．
又g（x）=-e^x+k²+4k
∴g′（x）=-e^x，
∴函數(shù)g（x）在[0，2]上單調遞減，最大值為g（x）_max=g（0）=k²+4k-1
因為對任意x₁∈[0，2]，均存在x₂∈[0，2]l，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，
所以有f（x）_max＜g（x）_max，則4＜k²+4k-1，
∴k＞1或k＜-5．
故實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-5）∪（1，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是將問題轉化為f（x）_max＜g（x）_max，屬于中檔題．