Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0且（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）=0，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|=1，則|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$|的最大值為3，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，建立直角坐標(biāo)系．可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（m，0），$\overrightarrow$=（0，n），$\overrightarrow{c}$=（x，y），由（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）=0，可得點C滿足$（x-\frac{m}{2}）^{2}+（y-\frac{n}{2}）^{2}=\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4}$．畫出圖形，設(shè)∠CBD=θ，把$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)用含有θ的代數(shù)式表示，然后結(jié)合三角函數(shù)求最值得答案．

解答 解：由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
可設(shè)$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$=（m，0），$\overrightarrow$=$\overrightarrow{OB}$=（0，n），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$=（x，y），
由（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）=0，得（m-x，-y）•（-x，n-y）=0
即x²-mx+y²-ny=0，化為$（x-\frac{m}{2}）^{2}+（y-\frac{n}{2}）^{2}=\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4}$．
∵|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$|=1，
∴|AC|=$\sqrt{3}$，|BC|=1，
設(shè)∠CBD=θ，則∠OAC=θ．
則x=sinθ=m-$\sqrt{3}$cosθ，
∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$|=|（2sinθ+$\sqrt{3}cosθ$，$\sqrt{3}sinθ$）|=$\sqrt{4sin（2θ-\frac{π}{6}）+5}$．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$|的最大值為3；
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=mx=sinθ（sinθ+$\sqrt{3}$cosθ）
=sin²θ+$\sqrt{3}$sinθcosθ
=$\frac{1}{2}$（1-cos2θ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2θ
=sin（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$的最大值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：3；$\frac{3}{2}$．

點評 本題綜合考查了向量的坐標(biāo)運算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積的性質(zhì)、三角函數(shù)代換等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．