Question

【題目】已知直三棱柱中所有棱長(zhǎng)都相等，、分別為、的中點(diǎn).現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：

；；

平面；異面直線與所成角的正弦值是.

其中正確的結(jié)論是（ ）

A.，B.，

C.，D.，

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)空間平行線的傳遞性可判斷命題的正誤；求出異面直線與所成角的余弦值，可判斷命題的正誤；利用線面垂直的判定定理可判斷命題的正誤；求出異面直線與所成角的正弦值，可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.

對(duì)于命題，分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、，

、分別為、的中點(diǎn)，，同理，，，

若，則，事實(shí)上與相交，所以，命題錯(cuò)誤；

對(duì)于命題，取的中點(diǎn)，連接、、，

設(shè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)為，

且，、分別為、的中點(diǎn)，且，

四邊形為平行四邊形，所以，且，

平面，平面，平面，，

易知，，

，同理，

由余弦定理得，

，，所以，異面直線與所成角為的補(bǔ)角，其余弦值為，

所以，與不垂直，命題錯(cuò)誤；

對(duì)于命題，連接、、，

四邊形為正方形，所以，，，，

為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，

平面，平面，，

，平面，平面，，

，平面，命題正確；

對(duì)于命題，連接，設(shè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)為，

易得，，

由余弦定理得，，

，所以，異面直線與所成的角為，其正弦值為，命題正確.

故選：D.