Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（Ⅱ）若直線過點(diǎn)，并且與曲線相切，求直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在. (Ⅱ)

(Ⅲ) 當(dāng)時(shí)，的最小值為0；當(dāng)1＜a＜2時(shí)，的最小值為；

當(dāng)時(shí)，的最小值為

【解析】

試題（Ⅰ）＞0 ………1分

而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 . …………3分

所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在. …………………4分

（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為

所以切線的方程為…………5分

又切線過點(diǎn)，所以有

解得所以直線的方程為………6分

（Ⅲ），則＜0＜00＜＜＞0＞所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. ………………8分

當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為……9分

當(dāng)1＜＜e，即1＜a＜2時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

在上的最小值為………11分

當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以在上的最小值為……12分

綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為0；當(dāng)1＜a＜2時(shí)，的最小值為；

當(dāng)時(shí)，的最小值為………14分