Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，和平面內(nèi)一點（），過點任作直線與橢圓相交于，兩點，設直線，，的斜率分別為，，，，試求，滿足的關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）圓心到直線的距離等于，即，所以，由解得，所以橢圓的標準方程為；（2）當直線的斜率不存在時，直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立可以求出坐標，此時，則，則的關系為，當直線的斜率存在時，設的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消去得，設，，于是，（*），又，，，所以，整理、代入（*）式得到，所以，整理得.

試題解析：（1）；

（2）①當直線斜率不存在時，由解得，，不妨設，，

因為，所以，所以，的關系式為．

②當直線的斜率存在時，設點，，設直線：，聯(lián)立橢圓整理得：

，

∴

.

所以，所以，的關系式為．