Question

如圖所示，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的右焦點為F₂(1,0)，點A在橢圓上．

(1)求橢圓方程；
(2)點M(x₀，y₀)在圓x²＋y²＝b²上，點M在第一象限，過點M作圓x²＋y²＝b²的切線交橢圓于P、Q兩點，問||＋||＋||是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，說明理由．

Answer 1

（1）＝1（2）4

(1)由右焦點為F₂(1,0)，可知c＝1.設左焦點為F₁，則F₁(－1,0)，又點A在橢圓上，則
2a＝|AF₁|＋|AF₂|＝＋＝4，
∴a＝2，b＝，即橢圓方程為＝1；
(2)設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則＝1(|x₁|≤2)，
|PF₂|²＝(x₁－1)²＋＝(x₁－1)²＋3＝(x₁－4)²，
∴|PF₂|＝(4－x₁)＝2－x₁.
連結OM，OP，由相切條件知：
|PM|²＝|OP|²－|OM|²＝＋－3＝＋3－3＝，
顯然x₁＞0，∴|PM|＝x₁.
∴|PF₂|＋|PM|＝2－＋＝2.同理|QF₂|＋|QM|＝2－＋＝2.
∴||＋||＋||＝2＋2＝4為定值．