Question

已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）若方程有唯一解，試求實(shí)數(shù)的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）    （2）實(shí)數(shù)的值為

【解析】(1)先對求導(dǎo)，然后求出x=1的導(dǎo)數(shù)，可寫出直線的點(diǎn)斜式方程化成一般式方程即可.

（2）本題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上同時恒成立問題解決即可。

(3) 本題的解題思路原方程等價于，令，則原方程即為。因?yàn)楫?dāng)時原方程有唯一解，所以函數(shù)與的圖像在軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn).然后利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的圖像從圖像上觀察y=m與y=h(x)何時有一個公共點(diǎn)即可。

解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061916221536011892/SYS201206191625250789626416_DA.files/image014.png">，所以切線的斜率.又知，則代入點(diǎn)斜式方程有.即.        ------------3分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061916221536011892/SYS201206191625250789626416_DA.files/image018.png">，又（定義域），

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

又，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

欲使函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù)，

則，解之得. ------------8分

（3）原方程等價于，令，則原方程即為。

因?yàn)楫?dāng)時原方程有唯一解，所以函數(shù)與的圖像在軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)    --9分

又，且，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，

即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，從而當(dāng)時原方程有唯一解的充要條件是，

所以實(shí)數(shù)的值為.