Question

（本小題滿分15分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，試分別解答以下兩小題.
（�。┤舨坏仁�對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）若是兩個不相等的正數(shù)，且，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）當時，增區(qū)間是；當時，增區(qū)間是，遞減區(qū)間是（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）

設(shè)，則t>0，，,令，得，在（0，1）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，.

試題分析：（Ⅰ）f(x)的定義域為，  ，………………1分
令，，
①當時，在恒成立，f(x)遞增區(qū)間是；………3分
②當時，,又x>0, 遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.         ………………………5分
（Ⅱ）（�。�
設(shè),
化簡得：,  ………………7分
,
，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，
所以，,即的取值范圍是 .………………9分
（ⅱ），在上單調(diào)遞增,

,   ……11分
設(shè)，則t>0，，,
令，得，在（0，1）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增,………13分

，.        ………………………14分
點評：本題第一問中求單調(diào)區(qū)間需要對參數(shù)分情況討論從而確定導(dǎo)數(shù)的正負；第二問中關(guān)于不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題