Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0），且橢圓上存在點(diǎn)P使得直線PF₁與直線PF₂垂直．
①求橢圓離心率e的取值范圍；
②若直線PF₁與橢圓另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)e=

2

2

，且△PQF₂的面積為12時(shí)，求橢圓方程．

Answer 1

分析：①根據(jù)橢圓上存在點(diǎn)P使得直線PF₁與直線PF₂垂直，可得|OP|=c≥b，從而可求橢圓離心率e的取值范圍；
②設(shè)出直線方程與橢圓方程，并聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合△PQF₂的面積為12時(shí)，即可求出橢圓方程．

解答：解：①由△F₁PF₂是直角三角形知，|OP|=c≥b，即c²≥a²-c²，故e∈[

2

2

，1)
②設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由e=

2

2

　得：a²=2c²，b²=c²，于是橢圓方程可化為：x²+2y²-2c²=0①
直線PQ的斜率k=1，設(shè)直線PQ的方程為：y=x+c②，
把①代入②，得：x²+2（x+c）²-2c²=0，
整理得：3x²+4cx=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁、x₂是上述方程的兩根，且|x2-x1|=

4c

3

，|PQ|=

1+k2

|x2-x1|=

4 2 c

3

．
點(diǎn)F₂到PQ直線的距離為d=PF2=

2

c，
所以：S=

1

2

×

4 2 c

3

×

2

c=

4c2

3

=12  得：c²=9=b²，a²=18．
所以所求橢圓方程為：

x2

18

+

y2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解題．