Question

設(shè)拋物線＝2p(x＋)(p＞0)的準(zhǔn)線和焦點(diǎn)分別是雙曲線的右準(zhǔn)線和右焦點(diǎn)，直線y＝kx與拋物線及雙曲線在第一象限分別交于點(diǎn)A、B，且A為OB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn))．

　　

(Ⅰ)當(dāng)k＝時(shí)，求雙曲線漸近線的斜率；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，若雙曲線的一條漸近線在y軸上的截距為，求拋物線和雙曲線的方程；

(Ⅲ)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，拋物線與直線的另一交點(diǎn)為C，是否存在實(shí)數(shù)k，使得△ACM的面積等于直線MA、MC的斜率翟乘積的絕對(duì)值？若存在，求出k值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)將y＝x代入，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(p，2p)． 　　∵A是OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3p，4p)． 　　設(shè)點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為BH，則由雙曲線定義，得 　　e＝． 　　∴雙曲線漸近線的斜率為． 　　(2)設(shè)雙曲線中心為(－c，0)，則雙曲線的一條漸近線方程為 　　y＝(x＋c)． 　　令x＝0，得； 　　∴c＝5，a＝4，b＝3． 　　∴雙曲線方程為＝1 　　又雙曲線的右準(zhǔn)線為x＝－p，－p＋5＝． 　　∴拋物線方程為 　　(3)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)． 　　設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A()，C()．聯(lián)立方程組 　　 　　． 　　則＝－4， 　　 　　　　 ＝ 　　　　 ＝． 　　由題意知：． 　　∴當(dāng)64－＞0，即0＜p＜時(shí)，存在滿足題設(shè)條件的實(shí)數(shù)k＝±； 　　當(dāng)64－≤0時(shí)，k不存在．