Question

已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足．求證：

．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)，只有單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，；

單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）

（3）由（2）知，在恒成立，構(gòu)造函數(shù)來求證不等式。

【解析】

試題分析：

1） 

 ，   1分

由的判別式，

①當(dāng)即時(shí)，恒成立，則在單調(diào)遞增； 2分

②當(dāng)時(shí)，在恒成立，則在單調(diào)遞增；   3分

③當(dāng)時(shí)，方程的兩正根為

則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時(shí)，只有單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，；

單調(diào)遞減區(qū)間為．    5分

（2）即時(shí)，恒成立．

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)，滿足條件．  7分

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，

則在單調(diào)遞減，

此時(shí)不滿足條件，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．                             9分

（3）由（2）知，在恒成立，

令 ，則  ，     10分

∴．                 11分

又，

∴ ，                      13分

∴ ．                                     14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。