Question

9．為增加產品利潤，某工廠想投入資金對機器進一步改造升級，經過市場調查，利潤增加值y萬元與投入x萬元之間滿足：y=$\frac{41}{40}x-t{x^2}-ln\frac{x}{10}$，x∈（1，m]，當x=10時，y=9．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求利潤增加值y取得最大時對應的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x=10時，y=9，代入可得t，即有函數的解析式；
（Ⅱ）求出f（x）的導數，求得單調區(qū)間，討論m＞40，m≤40，由單調性即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）因為當x=10時，y=9，
即$9=\frac{41}{40}×10-t×{10^2}-ln\frac{10}{10}$，
解得$t=\frac{1}{80}$，
所以  $y=\frac{41}{40}x-\frac{x^2}{80}-ln\frac{x}{10}，x∈（1，m]$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，$f'（x）=\frac{41}{40}-\frac{x}{40}-\frac{1}{x}$
=$-\frac{{{x^2}-41x+40}}{40x}=-\frac{（x-1）（x-40）}{40x}$，
令f′（x）=0，得x=40或x=1（舍去），
當x∈（1，40）時，f'（x）＞0，f（x）在（1，40）上是增函數；
當x∈（40，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）在（40，+∞）上是減函數．
∴當m＞40時，
當x∈（1，40）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，40）上是增函數；
當x∈（40，m]時，f'（x）＜0，∴f（x）在（40，m]上是減函數，
∴當x=40時，y取得最大值；
當m≤40時，當x∈（1，m）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，m）上是增函數，
∴當x=m時，y取得最大值．

點評 本題考查函數的解析式的求法，注意運用方程的思想，考查函數的最值的求法，注意運用導數，判斷單調性，以及分類討論的思想方法，屬于中檔題．