Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_k是以4為首項、-2為公差的等差數(shù)列，a_k+1，a_k+2，…，a_2k是以

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2

為首項、

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2

為公比的等比數(shù)列（k≥3，k∈N^*），且對任意的n∈N^*，都有a_n+2k=a_n成立，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）當k=5時，求a₄₈的值；
（2）判斷是否存在k，使a_64k+3≥230成立，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意分別求出等差、等比數(shù)列對應的通項公式，由k=5和a_n+2k=a_n成立求出數(shù)列的周期，由周期性求出a₄₈；
（2）先假設存在，利用數(shù)列的周期性進行求解判斷即可．

解答： 解：（1）由等差數(shù)列通項公式得，a_k=4+（k-1）（-2）=-2k+6，
由等比數(shù)列通項公式得，a_k+n=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，
∵對一切正整數(shù)n，都有a_n+2k=a_n成立．
∴數(shù)列為周期數(shù)列，周期為2k．
當k=5時，周期為10，所以a₄₈是等比數(shù)列中的第三項，
所以a48=(

1

2

)3=

1

8

；
（2）假設存在k，使a_64k+3≥230成立，
因為數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為2k，
所以a_64k+3=a₃=0≥230不成立，
故不存在k使a_64k+3≥230成立．

點評：本題考查等差、等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列表示法，數(shù)列的周期性，及數(shù)列與不等式的綜合應用，解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)．