Question

【題目】如圖，的直角邊OA在x軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線CD交AB于點(diǎn)，交x軸于點(diǎn).

(1)求直線CD的方程；

(2)動(dòng)點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線l垂直于x軸，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.

①點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②請(qǐng)?zhí)剿鳟?dāng)t為何值時(shí)，在直線l上存在點(diǎn)M，在直線CD上存在點(diǎn)Q，使得以OB為一邊，O，B，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，并求出此時(shí)t的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或，②滿(mǎn)足條件的t的值為或.

【解析】

（1）利用兩點(diǎn)式求出直線方程，再化為一般方程；
（2）①根據(jù)題意作DP∥OB，利用相似三角形求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得P′的坐標(biāo)；
②分情況討論，OP＝OB＝10時(shí)，作PQ∥OB交CD于Q，求得點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，t＝0；
OQ＝OB時(shí)，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，計(jì)算M的橫坐標(biāo)，求得t的值；Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出t的值.

解：（1）直線CD過(guò)點(diǎn)C（12，0），D（6，3），

直線方程為＝，

化為一般形式是x+2y﹣12＝0；

（2）①如圖1中，

作DP∥OB，則∠PDA＝∠B，

由DP∥OB得，＝，即＝，∴PA＝；

∴OP＝6﹣＝，∴點(diǎn)P（，0）；

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，當(dāng)AP＝AP′時(shí)，P′（，0），

∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）或（，0）；

②如圖2中，當(dāng)OP＝OB＝10時(shí)，作PQ∥OB交CD于Q，

則直線OB的解析式為y＝x，

直線PQ的解析式為y＝x+，

由，解得，∴Q（﹣4，8）；

∴PQ＝＝10，

∴PQ＝OB，∴四邊形OPQB是平行四邊形，

又OP＝OB，∴平行四邊形OPQB是菱形；

此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，且t＝0；

如圖3，當(dāng)OQ＝OB時(shí)，設(shè)Q（m，﹣m+6），

則有m2+＝102，

解得m＝；

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為或；

設(shè)M的橫坐標(biāo)為a，

則＝或＝，

解得a＝或a＝；

又點(diǎn)P是從點(diǎn)（﹣10，0）開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，

則滿(mǎn)足條件的t的值為或；

如圖4，當(dāng)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，此時(shí)t＝16；

綜上，滿(mǎn)足條件的t值為0，或16，或或.