Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

-x，對?x∈（0，1），有f（x）-f（x-1）≥1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：把函數(shù)解析式代入f（x）-f（x-1）≥1，把f（x）-f（x-1）≥1恒成立轉(zhuǎn)化為對x∈（0，1），不等式a≥2x²-2x³恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)f（x）=-2x³+2x²在x∈（0，1）上的最大值得答案．

解答： 解：由f（x）=

a

x

-x，且f（x）-f（x-1）≥1，得

a

x

-x-

a

x-1

-x+1≥1，
整理得：

a

x(1-x)

≥2x，
又x∈（0，1），不等式

a

x(1-x)

≥2x等價于a≥2x²-2x³．
令f（x）=-2x³+2x²，x∈（0，1），
則f′（x）=-6x²+4x．
當(dāng)x∈(0，

2

3

)時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)x∈(

2

3

，1)時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=

2

3

時，f(x)max=f(

2

3

)=-2×(

2

3

)3+2×(

2

3

)2=

8

27

．
∴a≥

8

27

．
故答案為：a≥

8

27

．

點評：本題考查了恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中高檔題．