Question

【題目】已知拋物線過(guò)焦點(diǎn)且平行于軸的弦長(zhǎng)為.點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，

（1）求拋物線的方程；

（2）若不平行于軸，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），證明:直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）定點(diǎn)，證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)求得拋物線的焦點(diǎn),可得過(guò)且平行于軸的直線為,代入拋物線的方程,可得弦長(zhǎng),解方程可得,即可得到所求拋物線的方程;

(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立拋物線方程,設(shè)，通過(guò)韋達(dá)定理以及斜率關(guān)系，以及直線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得它們的斜率之和為,求出直線系方程,即可得到定點(diǎn).

（1）拋物線過(guò)焦點(diǎn)且平行于軸的直線為，

代入拋物線的方程可得,即,則,即,

可得拋物線的方程為.

（2）證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程,

可得,

設(shè)可得，

為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得直線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),

即有，由,可得,

即,即 ,.

由,可得,

則直線的方程為,則直線恒過(guò)定點(diǎn).