Question

10．如圖ABCD為矩形，CDFE為梯形，CE⊥平面ABCD，O為BD的中點，AB=2EF
（Ⅰ）求證：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）若ABCD為正方形，求證：平面ACE⊥平面BDF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖，取AD的中點M，連接MF，OM．欲證明OE∥平面ADF，只需推知OE∥MF即可；
（Ⅱ）根據(jù)平面與平面垂直的判定定理進行證明即可．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，取AD的中點M，連接MF，OM，
因為ABCD為矩形，O為BD的中點，
所以O(shè)M∥AB，AB=2OM．
又因為CE⊥平面ABCD，
所以CE⊥CD．因為CDEF為梯形，
所以CD∥EF，
又因為AB=2EF，
所以EF∥OM，EF=OM，
所以EFMO為平行四邊形，
所以O(shè)E∥MF，
又MF?ADF，所以O(shè)E∥平面ADF．
（Ⅱ）因為ABCD為正方形，O為BD的中點，
所以BD⊥AC，
又因為CE⊥平面ABCD，
所以BD⊥CE，
所以BD⊥平面ACE，
所以平面BDF⊥平面ACE．

點評 此題考查立體幾何中直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直問題，考查了空間想象能力．