Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點A作圓的切線與CD的延長線交于點F，如果DE=

3

4

CE，AC=8

5

，D為EF的中點，則AB=

 

．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：

分析：連接AD，BC，設(shè)CE=4x，AE=y，則DF=DE=3x，EF=6x．利用圓的切線的性質(zhì)，可得△EAF為直角三角形，由勾股定理得：EF²=AE²+AF²，建立關(guān)于x，y的關(guān)系式，再設(shè)BE=z，由相交弦定理得到y(tǒng)，z的關(guān)系式，從而能求出x，y，z的值，問題的解．

解答： 解：連接AD，BC．
設(shè)CE=4x，AE=y，則DF=DE=3x，EF=6x
∵AB為⊙O的直徑，AF為⊙O的切線，
∴∠EAF=90°，∠ACD=∠DAF．
又∵D為Rt△AEF的斜邊EF的中點，
∴DA=DE=DF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴∠ACD=∠AFD，
∴AF=AC=8

5

．
在Rt△AEF中，由勾股定理得EF²=AE²+AF²，即36x²=y²+320．
設(shè)BE=z，由相交弦定理得CE•DE=AE•BE，即yz=4x•3x=12x²，
∴y²+320=3yz①
又∵AD=DE，
∴∠DAE=∠AED．
又∵∠DAE=∠BCE，∠AED=∠BEC，
∴∠BCE=∠BEC，從而BC=BE=z．
在Rt△ACB中，由勾股定理得AB²=AC²+BC²，即（y+z）²=320+z²，
∴y²+2yz=320．②
聯(lián)立①②，解得y=8，z=16．
∴AB=AE+BE=24．
故答案為：24．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)；勾股定理；相交弦定理，以及用方程思想解決幾何問題，綜合性很強，有一定的難度．