Question

已知函數(shù)f(x)=-x³+3x²-2x.(1)過點(0,-1)作曲線y=f(x)的切線,求切線方程;

(2)若m＞1,且過點(m,n)只能作出曲線y=f(x)的一條切線.求證:n＞m-1或n＜f(m).

Answer 1

解:(1)曲線y=f(x)在(a,f(a))處的切線方程為y=f′(a)(x-a)+f(a),

即y=(-3a²+6a-2)(x-a)-a³+3a²-2a,

∵(0,-1)在切線上,

∴2a³-3a²+1=0,解得a=1或a=.

∴過點(0,-1)作曲線y=f(x)的切線方程為y=x-1和y=x-1.

(2)∵(a,f(a))處的切線y=(-3a²+6a-2)(x-a)-a³+3a²-2a過(m,n)點,

代入化簡,可得2a³-(3m+3)a²+6ma-2m-n=0,

構(gòu)造三次函數(shù)g(a)=2a³-(3m+3)a²+6ma-2m-n,

∴g′(a)=6a²-6(m+1)a+6m=6(a-1)(a-m).

∵m＞1,∴g(a),g′(a)變化情況如下表:

a	(-∞,1)	1	(1,m)	m	(m,+∞)
g′(a)	+	0	-	0	+
g(a)	增函數(shù)	極大值m-n-1	減函數(shù)	極小值-m3+3m2-2m-n	增函數(shù)

∵過點(m,n)只能作出曲線y=f(x)的一條切線,

∴g(a)=0只有一個根,要使g(a)=0只有一個根,由g(a)單調(diào)性以及在R上的三次函數(shù)值域為R,只需要g(a)的極大值m-n-1＜0,即n＞m-1,或者g(a)的極小值-m³+3m²-2m-n＞0,即n＜f(m).