Question

已知過曲線C上任意一點P作直線x=-2p（p＞0）的垂線，垂足為M，且OP⊥OM．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)A、B是曲線C上兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α，β變化且α+β為定值θ（0＜θ＜π）時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P（x，y），則M（-2p，y），由此能求出曲線C的軌跡方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，x1=

y12

2p

，x2=

y22

2p

，將y=kx+b與y²=2px（p＞0），聯(lián)立得ky²-2py+2pb=0，由此能求出直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．

解答： （1）解：設(shè)P（x，y），則M（-2p，y），
由OP⊥OM，得

OP

•

OM

=0，
即-2px+y²=0，
所以軌跡方程為y²=2px（x≠0，p＞0）．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁，x₂≠0，
所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，
x1=

y12

2p

，x2=

y22

2p

，將y=kx+b與y²=2px（p＞0），聯(lián)立消去x，
得ky²-2py+2pb=0，
由韋達定理知y1+y2=

2p

k

，y1y2=

2pb

k

，①
（i）當θ=

π

2

時，即α+β=

π

2

時，tanα•tanβ=1，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=1，x₁x₂-y₁y₂=0，

y12y22

4p2

-y1y1=0，
所以y1y2=-4p2，由①知：

2pb

k

=4p2，
所以b=2pk，因此直線AB的方程可表示為y=k2pk，
即k（x+2P）-y=0，所以直線AB恒過定點（-2p，0）．
（Ⅱ）當θ≠

π

2

時，由α+β=θ，
得tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2p(y1+y1)

y1y2-4p2

，
將①式代入上式整理化簡得：tanθ=

2p

b-2pk

，
所以b=

2p

tanθ

+2pk，
此時，直線AB的方程可表示為y=kx+

2p

tanθ

+2pk．
即k（x+2p）-（y-

2p

tanθ

）=0．
所以直線AB恒過定點（-2p，

2p

tanθ

），
所以由（i）（i）知，當θ=

π

2

時，直線AB恒過定點（-2p，0），
當θ≠

π

2

時直線AB恒過定點（-2p，

29

tanθ

）．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查直線恒過定點的證明，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．