Question

18．設(shè)點F₁，F(xiàn)₂是$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的兩個焦點，過F₂的直線l與橢圓相交于A、B兩點．
（1）若$\frac{{S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}}{{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}}$=3，求此時直線l的方程；
（2）求△F₁AB的面積的最大值，并求出此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的焦點，設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，消去x，得到y(tǒng)的方程，運用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形的面積公式，解方程即可得到m；
（2）△F₁AB的面積S=$\frac{1}{2}$•4|y₁-y₂|，代入韋達(dá)定理，化簡整理，再由基本不等式，即可得到所求最大值和m的值，即有直線l的方程．

解答 解：（1）$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的兩個焦點F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
設(shè)直線l：x=my+2，代入橢圓方程可得（3+m²）y²+4my-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-$\frac{4m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，①
若$\frac{{S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}}{{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}}$=3，則$\frac{\frac{1}{2}•4|{y}_{1}|}{\frac{1}{2}•4|{y}_{2}|}$=3，
可令y₁=-3y₂，代入①，可得
-3•$\frac{4{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}$=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，
解得m=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即有直線l的方程為x-$\frac{\sqrt{15}}{5}$y-2=0或x+$\frac{\sqrt{15}}{5}$y-2=0；
（2）△F₁AB的面積S=$\frac{1}{2}$•4|y₁-y₂|
=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=2$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}+\frac{8}{3+{m}^{2}}}$
=4$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{1}{（1+{m}^{2}）+\frac{4}{1+{m}^{2}}+4}}$≤4$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{4}+4}}$=2$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)1+m²=2，即m=±1時，S取得最大值2$\sqrt{3}$．
即有△F₁AB的面積的最大值為2$\sqrt{3}$，此時直線l的方程為x+y-2=0或x-y-2=0．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達(dá)定理，同時考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題和易錯題．