Question

16．當(dāng)實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≤0}\\{x-y-1≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$時，ax+y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由ax+y≤4恒成立，結(jié)合可行域內(nèi)特殊點A，B，C的坐標(biāo)滿足不等式列不等式組，求解不等式組得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由約束條件作可行域如圖
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得C（1，$\frac{3}{2}$ ）．
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（2，1）．
在x-y-1=0中取y=0得A（1，0）．
由ax+y≤4得y≤-ax+4
要使ax+y≤4恒成立，
則平面區(qū)域在直線y=-ax+4的下方，
若a=0，則不等式等價為y≤4，此時滿足條件，
若-a＞0，即a＜0，平面區(qū)域滿足條件，
若-a＜0，即a＞0時，要使平面區(qū)域在直線y=-ax+4的下方，
則只要B在直線的下方即可，
即2a+1≤4，得0＜a≤$\frac{3}{2}$．
綜上a≤$\frac{3}{2}$
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了不等式組得解法，是中檔題．