Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作圓O與斜邊AB交于N，過點(diǎn)O作OM∥AC，交BC于M，交圓O于Q．
（Ⅰ）求證：MN是圓O的切線；
（Ⅱ）求證：MN•BC=MQ•AC+MQ•AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接ON，證明△NOM≌△BOM，可得∠ONM=∠OBM=90°，即可證明MN是圓O的切線；
（Ⅱ）延長(zhǎng)MO交圓O于點(diǎn)F，證明MN•BC=MN•2MB=2MN²，可得MQ•QC+MQ•QB=MQ•（AC+AB）=MQ•（2OM+2OF）=2MQ•MF，利用MN，MF分別是圓O的切線與割線，可得MN²=MQ•MF，即可證明MN•BC=MQ•AC+MQ•AB．

解答 （Ⅰ）證明：連接ON，
∵OM∥AC，
∴∠A=∠BOM，∠ANO=∠NOM，
∵OA=ON，
∴∠A=∠ANO，
∴∠BOM=∠NOM．
在△NOM和△BOM中，
∵ON=OB，∠BOM=∠NOM，OM=OM，
∴△NOM≌△BOM，
∴∠ONM=∠OBM=90°，
∴ON⊥MN，
∴MN是圓O的切線；
（Ⅱ）解：延長(zhǎng)MO交圓O于點(diǎn)F，
∵△NOM≌△BOM，
∴MN=MB，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴BC=2MB，
∴MN•BC=MN•2MB=2MN²，
∵AC=2OM，AB=2OF，
∴MQ•QC+MQ•QB=MQ•（AC+AB）=MQ•（2OM+2OF）=2MQ•MF，
∵M(jìn)N，MF分別是圓O的切線與割線，
∴MN²=MQ•MF，
∴MN•BC=MQ•AC+MQ•AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形全等的證明，考查切割線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．