Question

已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，右焦點(diǎn)到直線x＋y＋＝0的距離為2.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點(diǎn)M(0，－1)作直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交x軸于N點(diǎn)，且滿足＝－，求直線l的方程．

Answer 1

解：(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為(c,0)(c＞0)，則＝2，c＋＝±2，c＝或c＝－3(舍去)．

又離心率＝，＝，故a＝2，b＝＝，故橢圓的方程為＋＝1.

(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，N(x_0,0)，因?yàn)?i>＝－，

所以(x₁－x₀，y₁)＝－(x₂－x₀，y₂)，y₁＝－y₂.①

易知當(dāng)直線l的斜率不存在或斜率為0時(shí)，①不成立，

于是設(shè)直線l的方程為y＝kx－1(k≠0)，

聯(lián)立方程，得

消去x得(4k²＋1)y²＋2y＋1－8k²＝0，②

因?yàn)?i>Δ＞0，所以直線與橢圓相交，

于是y₁＋y₂＝－，③

y₁y₂＝， ④

由①③得，y₂＝，y₁＝－，

代入④整理得8k⁴＋k²－9＝0，k²＝1，k＝±1，

所以直線l的方程是y＝x－1或y＝－x－1.