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數列{an}滿足：na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1（n=1，2，3，…，）．
（1）求an的通項公式；
（2）若bn=-（n+1）an，試問是否存在正整數k，使得對于任意的正整數n，都有bn≤bk成立？證明你的結論．
分析：（1）由數列{an}滿足的條件na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1，根據遞推可得（n-1）a1+（n-2）a2+…+an-1=(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1，兩式相減得到Sn，從而求出an的通項公式；
（2）設存在自然數k，使對n∈N，bn≤bk恒成立，根據bn+1-bn的表達式易得當n＜8時，bn+1＞bn，當n=8時，bn+1=bn，當n＞8時，bn+1＜bn故得解．
解答：解：（1）由na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1，
得，（n-1）a1+（n-2）a2+…+an-1=(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1兩式相減，
得a1+a2+…+an=(
9
10
)n-1=Sn
∴當n=1時，a1=S1=1
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-
1
10
(
9
10
)n-2
即an=
1        ，n=1
-
1
10
(
9
10
)n-2，n≥2

（2）由（1）得bn=-(n+1)an=
-2          ，n=1
n+1
10
(
9
10
)n-2，n≥2

設存在自然數k，使對n∈N，bn≤ck恒成立
當n=1時，b2-b1=
23
10
＞0⇒b2＞b1
當n≥2時，bn+1-bn=(
9
10
)n-2•
8-n
100
，
∴當n＜8時，bn+1＞bn
當n=8時，bn+1=bn，當n＞8時，bn+1＜bn
所以存在正整數k=8或9，使對任意正整數n，均有b1＜b2＜…＜b8=b9＞b10＞b11＞…，
從而存在正整數k8或9，使得對于任意的正整數n都bn≤bk成立
點評：本題主要考查數列的性質及其應用，同時考查了作差比較法和數列與不等式的綜合，以及計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若數列{an}滿足前n項之和Sn=2an-4（n∈N*），bn+1=an+2bn，且b1=2．
（1）求證數列{
bn2n
}為等差數列；  （2）求{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足當n＞1時，an=
an-1
1+4an-1
，且a1=
1
5
．
（1）求證：數列{
1
an
}為等差數列；
（2）試問a1a2是否是數列{an}中的項．如果是，是第幾項；如果不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•河池模擬）若數列{an}滿足前n項和為Tn=n2-
1
2
n．
（1）求數列{
an
2n
}的前n項和Sn；
（2）設數列{bn}滿足條件：b1=2，bn+1≥abn，求證：
1
2b1-3
+
1
2b2-3
+
1
2b3-3
+…+
1
2bn-3
＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}中，若存在常數M，?n∈N*，均有|an|≤M，稱數列{an}是有界數列；把Ln=
ni=1
|ai+1-ai|(n∈N*)叫數列{an}的前n項鄰差和，數列{Ln}叫數列{an}的鄰差和數列．
（1）若數列{an}滿足，?n∈N*，均有|an+3|+|an-1|≤6恒成立，試證明：{an}是有界數列；
（2）試判斷公比為q的正項等比數列{an}的鄰差和數列{Ln}是否為有界數列，證明你的結論；
（3）已知數列{an}、{bn}的鄰差和{Ln}與{L'n}均為有界數列，試證明數列{anbn}的鄰差和數列{L''n}也是有界數列．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足當n＞1時， an=
an-1
1+4an-1
 且 a1=
1
5
．則a7=（　�。�

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