Question

14．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，已知a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）設(shè)數(shù)列b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，可得${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，即（2+d）²=2（2+3d），解出即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，
∴（2+d）²=2（2+3d），化為d²-2d=0，d≠0，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．