Question

已知點F（1，0），直線l：x=-1，動點P到點F的距離等于點P到直線l的距離，動直線PO與直線l交于動點N，過N且平行于x軸的直線與動直線PF交于動點Q．
（Ⅰ）求證：動點P、Q在同一條曲線C上運動；
（Ⅱ）曲線C在點P處的切線與直線l交于點R，M為線段PQ的中點．
（1）求證：直線RM∥x軸；
（2）若直線RM平分∠PRF，求直線PQ的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義，可判斷P點在拋物線y²=4x上，所以要想證明動點P、Q在同一條曲線C上運動，只需證明Q點也在拋物線y²=4x上即可，利用Q點為過N且平行于x軸的直線與動直線PF的交點，帶著參數(shù)求出Q點坐標，證明不論參數(shù)為何值，Q點都滿足拋物線y²=4x方程，就可證明在拋物線y²=4x上．
（Ⅱ）（1）欲證直線RM∥x軸，只需證明R，M兩點的縱坐標相等．利用導數(shù)求出拋物線在P點處的切線斜率，得到切線方程，再與直線l：x=-1聯(lián)立，解出R點坐標，用中點坐標公式求出M點坐標，觀察縱坐標是否相同即可．
（2）由于直線RM平分∠PRF，且RM∥x軸，可得幾何條件|AR|=|RF|，由（1）中直線PR的方程，表示出R點坐標，依幾何條件列方程可求得點P的坐標，最后由兩點式寫出所求直線方程
解答：解：（I）點P在曲線C：y²=4x上



將直線NQ的方程代入直線PF的方程消去y₁，得y²=4x
∴點Q在曲線C上．
（II）
（1）∵
∴
∴
顯然RM∥x軸

若RM平分∠PRF，且RM∥x軸
∴|AR|=|RF|
即
∵
∴P（3，2），又F（1，0）
∴
即直線PQ的方程為
點評：本題綜合考察了拋物線的標準方程和幾何性質，直線與拋物線的關系，解題時要學會通過恰當設點的坐標進行證明和計算，要學會將幾何條件進行轉化，便于證明和計算