Question

如圖1所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過(guò)點(diǎn)D作直線y=-

1

2

x+b交折線OAB于點(diǎn)E．
（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，試探究O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：探究型

分析：（1）由過(guò)D點(diǎn)的直線y=-

1

2

x+b分別求出直線過(guò)A，B，C時(shí)的b的值，然后分別求出E在線段OA和AB上的點(diǎn)E的坐標(biāo)，當(dāng)E在線段OA上時(shí)，直接由三角形的面積公式寫(xiě)出△ODE的面積，當(dāng)E在線段BC上時(shí)，由矩形面積減去三個(gè)直角三角形的面積得△ODE的面積，最后分段寫(xiě)出即可；
（2）通過(guò)作圖得到矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，由平面幾何知識(shí)得到重疊部分的四邊形為菱形，設(shè)出菱形的邊長(zhǎng)，利用直線的斜率是-

1

2

，通過(guò)解直角三角形求出菱形的邊長(zhǎng)為定值，從而求得重疊部分的四邊形的面積為定值．

解答： 解：（1）由題意得B（3，1）．
若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）時(shí)，則b=

3

2

．
若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，1）時(shí)，則b=

5

2

．
若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，1）時(shí)，則b=1．
①若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時(shí)，即1＜b≤

3

2

時(shí)，
如圖：

此時(shí)E（2b，0），∴S=

1

2

OE•CO=

1

2

×2b×1=b；                 
②若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時(shí)，即

3

2

＜b＜

5

2

時(shí)，
如圖：
2
此時(shí)E（3，b-

3

2

），D（2b-2，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[

1

2

（2b-1）×1+

1

2

×（5-2b）•（

5

2

-b）+

1

2

×3（b-

3

2

）]=

5

2

b-b2．
∴S=

b，1＜b≤ 3 2 5 2 b-b2， 3 2 ＜b＜ 5 2

；
（2）如圖3：

設(shè)O₁A₁與CB相交于點(diǎn)M，OA與C₁B₁相交于點(diǎn)N，
則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．
由題意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM為平行四邊形．
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)知，∠MED=∠NED．
又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四邊形DNEM為菱形．
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OA，垂足為H，
由題易知，tan∠DEN=

1

2

，DH=1，∴HE=2，
設(shè)菱形DNEM 的邊長(zhǎng)為a，
則在Rt△DHM中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，解得a=

5

4

．
∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=

5

4

．
∴矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型選擇及應(yīng)用，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生的抽象思維能力和運(yùn)算能力，屬于較難的題目．