Question

在△ABC中，滿足：

AB

⊥

AC

，M是BC的中點．
（Ⅰ）若|

AB

|=|

AC

|，求向量

AB

+2

AC

與向量2

AB

+

AC

的夾角的余弦值；
（Ⅱ）若O是線段AM上任意一點，且|AB|=|AC|=

2

，求

OA

•

OB

+

OC

•

OA

的最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用向量的數(shù)量積公式變形，設(shè)向量

AB

+2

AC

與向量2

AB

+

AC

的夾角為θ，得到cosθ的值；
（II）通過解三角形求出AM的長，設(shè)OA的長度為x，得到OM=1-x，利用向量的平行四邊形法則得到

OB

+

OC

=2

OM

，利用向量的數(shù)量積公式將

OA

•

OB

+

OC

•

OA

表示為x的函數(shù)求最值．

解答： 解：（I）設(shè)向量

AB

+2

AC

與向量2

AB

+

AC

的夾角為θ，
∴cosθ=

( . AB +2 AC )•(2 AB + AC )

| AB +2 AC ||2 AB + AC |

，
設(shè)|

AB

|=|

AC

|=a，∵

AB

⊥

AC

，
∴cosθ=

2a2+2a2

5 a 5 a

=

4

5

；
（II）∵|AB|=|AC|=

2

，
∴|

AM

|=1
設(shè)|

OA

|=x，則|

OM

|=1-x，而

OB

+

OC

=2

OM

，
∴

OA

•

OB

+

OC

•

OA

=

OA

•(

OB

+

OC

)=

OA

•2

OM

=2|

OA

||

OM

|cosπ=-2x（1-x）=2x²-2x=2（x-

1

2

）²-

1

2

，
當且僅當x=

1

2

時，

OA

•

OB

+

OC

•

OA

的最小值是-

1

2

．

點評：本題考查了利用向量的數(shù)量積公式解決向量的夾角問題以及數(shù)量積的坐標運算．