Question

（1）請你分別使用綜合法和分析法證明不等式：2

2

-

7

＜

6

-

5

（2）請你分別說明用綜合法和分析法證明的特點是什么．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）

專題：推理和證明

分析：（1）①綜合法從2

2

＞

6

，

7

＞

5

入手，可得2

2

+

7

＞

6

+

5

＞0，繼而

1

2 2 + 7

＜

1

6 + 5

，整理即得結(jié)論成立；
②要證明2

2

-

7

＜

6

-

5

，只需證明使之成立的充分條件即可，直至40＜42，顯然成立（充分條件找到）從而肯定結(jié)論成立．
（2）綜合法證明的特點是“由因?qū)Ч�”，分析法證明的特點是“執(zhí)果索因”．

解答： 證明：（1）①用綜合法證：
∵2

2

=

8

＞

6

，

7

＞

5

，∴2

2

+

7

＞

6

+

5

＞0，
∴

1

2 2 + 7

＜

1

6 + 5

；又∵(2

2

-

7

)(2

2

+

7

)=1，(

6

-

5

)(

6

-

5

)=1，∴2

2

-

7

＜

6

-

5

．
②用分析法證明如下：
要證明2

2

-

7

＜

6

-

5

，只需證明，2

2

+

5

＜

6

+

7

，
只需證明(2

2

+

5

)2＜(

6

+

7

)2即2+4

10

+5＜6+2

42

+7，
只需證明2

40

＜2

42

，即40＜42，這顯然成立．
這就證明了2

2

-

7

＜

6

-

5

．
（2）用綜合法證明的特點是“由因?qū)Ч�”，即從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明．
用分析法證明的特點是“執(zhí)果索因”．即從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等．

點評：本題考查綜合法與分析法的特點及應(yīng)用，熟練掌握綜合法與分析法是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．