Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)， ， 分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線(xiàn)： 被圓： 所截得的弦長(zhǎng)為，若直線(xiàn)與橢圓交于， 兩點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)，即時(shí)， 面積取到最大值1．

【解析】試題分析：利用離心率可以得出的關(guān)系，化為的關(guān)系，再利用的面積列出的方程，借助解出，寫(xiě)出橢圓方程，聯(lián)立方程組，化為關(guān)于的一元二次方程，利用設(shè)而不求思想，借助根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式表示出弦長(zhǎng)，寫(xiě)出面積，利用換元法和配方法求出最值.

試題解析：

（1）由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以，即，可得，

，

∴，∴， ，

所以橢圓的方程為．

（2）由題意知，圓心到直線(xiàn)的距離為1，即，所以．　

由消去，得，

∴，所以，

設(shè)， ，則， ，

所以

，

所以的面積為 ，

令，

則，

所以當(dāng)，即時(shí)， 面積取到最大值1．