Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率不為零的直線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，以線(xiàn)段AP為直徑的圓與直線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，證明：直線(xiàn)BQ恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.

【解析】

（1）根據(jù)題意列方程組，求解，，即可.

（2）設(shè)，因?yàn)橹本�(xiàn)的斜率不為零，令的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，得到，，由題意可知，，則，確定的方程，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，則定點(diǎn)必在軸上，所以令，求解，即可.

（1）由題知 ， 解得，，

所以橢圓的方程為；

（2）設(shè)，因?yàn)橹本�(xiàn)的斜率不為零，令的方程為：，

由 得，

則，，

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓與直線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為,所以，則，

則，故的方程為： ，

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，則定點(diǎn)必在軸上，所以令，則

，

而，，，

所以，

故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為.