Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，其一條漸近線方程是，且雙曲線過(guò)點(diǎn).

   （1）求此雙曲線的方程；

（2）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，其方向向量為，令向量滿(mǎn)足.雙曲線的右支上是否存在唯一一點(diǎn)，使得. 若存在，求出對(duì)應(yīng)的值和的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）

（2），.

解析:

（1）設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入可得，

        雙曲線的方程為.

   （2）依題意，直線 的方程為 .設(shè)是雙曲線右支上滿(mǎn)足

 的點(diǎn)，結(jié)合 ，得，

即點(diǎn)到直線的距離 

    ①若，則直線與雙曲線的右支相交，此時(shí)雙曲線的右支上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，與題意矛盾；

②若，則直線在雙曲線右支的上方，故，從而

. 又因?yàn)?，所以

.

當(dāng)時(shí)，方程有唯一解 ，則；

當(dāng)時(shí)，由得 ，此時(shí)方程有唯一解 ，則

綜上所述，符合條件的值有兩個(gè)：，此時(shí)；，此時(shí).