Question

【題目】已知．

（1）若關(guān)于的方程在上恒成立，求的值；

（2）證明：當(dāng)時(shí)， ．

Answer 1

【答案】（1）;（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）令，討論的取值，只需即可；

（2）由（1）知時(shí)， ，即恒成立，令，即，一次賦值，再累加得，再取對(duì)數(shù)即可.

試題解析：

（1）令，

若，與已知矛盾，

若，則，顯然不滿(mǎn)足在上恒成立，

若，對(duì)求導(dǎo)可得，

由解得，由解得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴， ∴要使恒成立，則須使成立，

即恒成立，兩邊取對(duì)數(shù)得， ，整理得，即須此式成立，

令，則，顯然當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，于是函數(shù)的上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 恒成立，

∴滿(mǎn)足條件，綜上所述， ．

（2）由（1）知時(shí)， ，即恒成立，

令，即，

即，同理， ，

，

，

將上式左右相加得： ，

即，即．