Question

（16分）一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)直線l:上一點(diǎn)反射后，恰好穿過點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的方程；

 （3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上除長軸兩端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，試問在軸上是否存在兩定點(diǎn)、，使得直線、的斜率之積為定值？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件的定點(diǎn)、的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：（1）設(shè)關(guān)于l的對稱點(diǎn)為，則且，

解得，，即，故直線的方程為．

由，解得．                       --------------------5分

（2）因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090523/20090523143454012.gif' width=67>，根據(jù)橢圓定義，得

，所以．又，所以．所以橢圓的方程為．                                        --------------------10分

（3）假設(shè)存在兩定點(diǎn)為，使得對于橢圓上任意一點(diǎn)（除長軸兩端點(diǎn)）都有（為定值），即?，將代入并整理得…（＊）．由題意，（＊）式對任意恒成立，所以，解之得 或．

所以有且只有兩定點(diǎn)，使得為定值．   -------------16分