Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為， ， ．等 差數(shù)列中， ，且公差．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得?．若存在，求出的最小值；若 不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）4．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由可得， 兩式相減得， ，數(shù)列是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的定義可得的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求出，利用錯位相減法可得數(shù)列的前項(xiàng)和，解不等式即可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ） ， 當(dāng)時， 兩式相減得， ，又， 數(shù)列是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列， ，又， .

（Ⅱ）,令 ①

則 ②

①-②得： ， ，即， ， 的最小正整數(shù)為.

【易錯點(diǎn)晴】本題主要考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)、“錯位相減法”求數(shù)列的和，屬于難題. “錯位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；②相減時注意最后一項(xiàng) 的符號；③求和時注意項(xiàng)數(shù)別出錯；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.