Question

設函數(shù)f（x）=

ax

e2x

+b，其中a＞0，b∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線為直線l，證明：f（x）=

ax

e2x

+b的圖象恒在切線l的下方（除切點外）．
（2）當a=1，設函數(shù)F（x）=f（x）-|lnx|，若?x₀∈（0，+∞），使得F（x₀）=0，求實數(shù)b的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=

a(1-2x)

e2x

，從而求出切線方程y=ax+b；再作差(

ax

e2x

+b)-(ax+b)=ax(

1

e2x

-1)，從而證明恒小于0即可；
（2）由題意，F(xiàn)（x）=f（x）-|lnx|=

x

e2x

+b-|lnx|．從而討論去絕對值號，再求導確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值，從而討論最值的取值即可．

解答： 解：（1）證明：由已知f′（x）=

a(1-2x)

e2x

，所以f′（0）=a；又∵f（0）=b；
所以切線l的方程為：y=ax+b；
又(

ax

e2x

+b)-(ax+b)=ax(

1

e2x

-1)，
因為a＞0，當x＞0時，

1

e2x

＜1，
所以(

ax

e2x

+b)-(ax+b)=ax(

1

e2x

-1)＜0；
當x＜0時，

1

e2x

＞1，
所以(

1

e2x

+b)-(ax+b)=ax(

1

e2x

-1)＜0；
故函數(shù)f(x)=

ax

e2x

+b的圖象恒在切線l的下方（除切點外）；
（2）由題意，F(xiàn)（x）=f（x）-|lnx|=

x

e2x

+b-|lnx|．
①當0＜x＜1時，F(xiàn)（x）=

x

e2x

+b+lnx，
所以F′（x）=

1-2x

e2x

+

1

x

=

x-2x2+e2x

xe2x

；
在0＜x＜1時，函數(shù)y=e^2x的值域為（1，e²），函數(shù)y=2x²-x的值域為（-

1

8

，1），
所以在0＜x＜1時，恒有2x²-x＜e^2x，即e^2x+x-2x＞0，
所以y=F（x）對任意x∈（0，1）大于零恒成立，
所以F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
②當x≥1時，F(xiàn)（x）=

x

e2x

+b-lnx，
F′（x）=

1-2x

e2x

-

1

x

=

x-2x2-e2x

xe2x

，
顯然在x≥1時有函數(shù)y=x-2x²=x（1-2x）＜0恒成立，
所以F′（x）＜0對任意x∈（1，+∞）恒成立，
所以F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
由①②得，函數(shù)F（x）=

x

e2x

+b-|lnx|在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以F（x）的最大值為F（1）=

1

e2

+b；
當

1

e2

+b=0，即b=-

1

e2

時，函數(shù)y=f（x）-|lnx|有且只有一個零點；
當

1

e2

+b＞0，即b＞-

1

e2

時，函數(shù)y=f（x）-|lnx|有兩個不等的零點；
當

1

e2

+b＜0，即b＜-

1

e2

時，函數(shù)y=f（x）-|lnx|沒有零點．
故若?x₀∈（0，+∞），使得F（x₀）=0，
則b≥-

1

e2

，
所以b的最小值為-

1

e2

．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的數(shù)學思想應用，屬于中檔題．