Question

（2010•宿松縣三模）如圖，設(shè)F是橢圓：C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，直線(xiàn)l為其左準(zhǔn)線(xiàn)，直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)P，線(xiàn)段MN為橢圓的長(zhǎng)軸，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A，B，求證：∠AFM=∠BFN；
（3）（理）求三角形ABF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，得

a2

c

-a=2（a-c），由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，∠AFM=∠BFM=0，滿(mǎn)足題意．當(dāng)AB方程為x=my-8，代入橢圓方程得（3m²+4）y²-48my+144=0，由K_AF+K_BF=0，得到∠AFM=∠BFN．故恒有∠AFM=∠BFN．
（3）（理）S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF=

1

2

|PF|•|y2-y1|=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，由此能求出三角形ABF面積的最大值．

解答：解：（1）∵線(xiàn)段MN為橢圓的長(zhǎng)軸，且|MN|=8，∴a=4
∵|PM|=2|MF|，
∴

a2

c

-a=2（a-c）
∴a²-ac=2ac-2c²，
∴2e²-3e+1=0，
解得e=

1

2

或e=1（舍去）
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，顯然∠AFM=∠BFM=0，滿(mǎn)足題意．
當(dāng)AB方程為x=my-8，代入橢圓方程整理得
（3m²+4）y²-48my+144=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=

48m

3m2+4

，y1y2=

144

3m2+4

，
∴K_AF+K_BF=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=

y1

my1-6

+

y2

my2-6

=

2my1y2-6(y1+y2)

(my1-6)(m y   2 -6)

=

288m 3m2+4 - 288m 3m2+4

(my1-6)(my2-6)

=0
∴K_AF+K_BF=0，從而∠AFM=∠BFN  綜上可知，恒有∠AFM=∠BFN．
（3）（理）∵P（-8，0），F(xiàn)（-2，0），∴|PF|=6，
∴|y₂-y₁|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 48m 3m2+4 )2 -4• 144 3m2+4

=

24 m 2-4

3m2+4

，
∴S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF
=

1

2

|PF|•|y2|-

1

2

|PF|•|y1|
=

1

2

|PF|•|y2-y1|
=

72 m2-4

3m2+4

=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

當(dāng)且僅當(dāng)3

m2-4

=

16

m2-4

即m²=

28

3

（此時(shí)適合△＞0的條件）時(shí)取等號(hào)
∴三角形ABF面積的最大值是3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與橢圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．