Question

已知

sinα-cosα

sinα+cosα

=

1

3

，求cos⁴（

π

3

+α）-cos⁴（

π

6

-α）．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進行化簡即可．

解答： 解：cos⁴（

π

3

+α）-cos⁴（

π

6

-α）=cos⁴（

π

3

+α）-sin⁴（

π

3

+α）=[cos²（

π

3

+α）+sin²（

π

3

+α）][cos²（

π

3

+α）-sin²（

π

3

+α）]
=cos²（

π

3

+α）-sin²（

π

3

+α）=cos（

2π

3

+2α）=2cos²（

π

3

+α）-1．
由

sinα-cosα

sinα+cosα

=

1

3

，得sinα=2cosα，解得cosα=

5

5

，sinα=

2 5

5

，或cos=-

5

5

，sinα=-

2 5

5

，
若cosα=

5

5

，sinα=

2 5

5

，則cos（

π

3

+α）=cos

π

3

cosα-sin

π

3

sinα=

1

2

×

5

5

-

3

2

×

2 5

5

=

5 (1-2 3 )

10

，
若cos=-

5

5

，sinα=-

2 5

5

，則cos（

π

3

+α）=cos

π

3

cosα-sin

π

3

sinα=-

1

2

×

5

5

-

3

2

×（-

2 5

5

）=-

5 (1-2 3 )

10

，
則2cos²（

π

3

+α）-1=2（±

5 (1-2 3 )

10

）²-1=

1-2 3

5

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)值的化簡和求解，利用余弦函數(shù)的倍角公式已經(jīng)兩角和差的余弦公式是解決本題的關(guān)鍵．