Question

求證：m!+

(m+1)！

1!

+

(m+2)!

2!

+…+

(m+n)!

n!

=

(m+n+1)!

(m+1)n!

．

Answer 1

考點(diǎn)：排列及排列數(shù)公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：假設(shè)假設(shè)m為常數(shù)，對于n利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 證明：假設(shè)m為常數(shù)，對于n利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=m!+（m+1）!=m!（m+2），右邊=

(m+2)！

m+1

=m!（m+2），
左邊=右邊，即n=1時(shí)成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即m!+

(m+1)！

1!

+

(m+2)!

2!

+…+

(m+k)!

k!

=

(m+k+1)！

(m+1)k!

．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=m!+

(m+1)！

1!

+

(m+2)!

2!

+…+

(m+k)!

k!

+

(m+k+1)!

(k+1)!

=

(m+k+1)！

(m+1)k!

+

(m+k+1)!

(k+1)!

=

(m+k+1)!(k+1)+(m+k+1)!(m+1)

(m+1)(k+1)!

=

(m+k+2)!

(m+1)(k+1)!

，
而右邊=

(m+k+2)!

(m+1)(k+1)!

，
因此左邊=右邊．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．
綜上（1）（2）可知：等式對于?n∈N^*成立．

點(diǎn)評：本題考查了“數(shù)學(xué)歸納法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．