Question

（1）設(shè){a_n}是等差數(shù)列，求證：以b_n=

a1+a2+…+an

n

（n∈N^*）為通項(xiàng)公式的數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）已知

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，求證

b+c

a

，

a+c

b

，

a+b

c

也成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是等差數(shù)列，可得a_n+1-a_n=d常數(shù)，a₁+a₂+…+a_n=

n(a1+an)

2

．
于是bn=

n(a1+an) 2

n

=

a1+an

2

，只要證明b_n+1-b_n為常數(shù)即可．
（2）由

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，可得

2

b

=

1

a

+

1

c

，即b=

2ac

a+c

．只要證明

2(a+c)

b

-

b+c

a

-

a+b

c

=0即可．

解答：證明：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，∴a_n+1-a_n=d常數(shù)，a₁+a₂+…+a_n=

n(a1+an)

2

．
∵bn=

n(a1+an) 2

n

=

a1+an

2

，
∴b_n+1-b_n=

a1+an+1

2

-

a1+an

2

=

an+1-an

2

=

1

2

d為常數(shù)，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，∴

2

b

=

1

a

+

1

c

，∴b=

2ac

a+c

．
∴

2(a+c)

b

-

b+c

a

-

a+b

c

=

(a+c)2

ac

-

b(a+c)+a2+c2

ac

=

(a+c)2-(2ac+a2+c2)

ac

=0．
∴

2(a+c)

b

=

b+c

a

+

a+b

c

．
∴

b+c

a

，

a+c

b

，

a+b

c

也成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列定義、通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．