Question

)如圖，AC 是圓 O 的直徑，點(diǎn) B 在圓 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于點(diǎn) M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C//EA，AC＝4，EA＝3，F(xiàn)C＝1．

（I）證明：EM⊥BF；

（II）求平面 BEF 與平面ABC 所成銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）略（2）．

【解析】本試題主要是考查了線(xiàn)線(xiàn)的垂直的證明和二面角的平面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)已知條件可以建立空間直角坐標(biāo)系，然后借助于向量的數(shù)量積為零來(lái)證明線(xiàn)線(xiàn)的垂直問(wèn)題。

（2）而第二問(wèn)的二面角需要求解平面的法向量，運(yùn)用法向量和法向量的夾角來(lái)表示二面角的平面角的大小，體現(xiàn)了向量的代數(shù)法手段的好處，。避免了復(fù)雜的空間位置關(guān)系的運(yùn)用。

解：（1）．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于、、所在的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

由已知條件得，

．由，

得， ．   ……………6分

（2）由（1）知．

設(shè)平面的法向量為，由 得，

令得，，

由已知平面，所以取面的法向量為，

設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．