Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-$\frac{9}{x}$+a，x∈[1，6]，a∈R．，當a∈（1，6）時，求函數(shù)f（x）的最大值的表達式M（a）

Answer 1

分析 由于1＜a＜6，可將f（x）化為分段函數(shù)形式，分1＜a≤3與3＜a＜6討論函數(shù)的單調性，從而求得函數(shù)f（x）的最大值的表達式M（a）．

解答 解：∵1＜a＜6，∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-（x+\frac{9}{x}），}&{1≤x≤a}\\{x-\frac{9}{x}，}&{a＜x≤6}\end{array}\right.$，
①當1＜a≤3時，f（x）在[1，a]上是增函數(shù)，在[a，6]上也是增函數(shù)，
∴當x=6時，f（x）取得最大值為f（6）=6-$\frac{9}{6}=\frac{9}{2}$．
②當3＜a＜6時，f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，在[3，a]上是減函數(shù)，在[a，6]上是增函數(shù)，
而f（3）=2a-6，f（6）=$\frac{9}{2}$，
若2a-6=$\frac{9}{2}$，解得a=$\frac{21}{4}$，
當3＜a≤$\frac{21}{4}$時，2a-6≤$\frac{9}{2}$，
當x=6時，f（x）取得最大值為$\frac{9}{2}$．
當$\frac{21}{4}$≤a＜6時，2a-6＞$\frac{9}{2}$，
當x=3時，f（x）取得最大值為2a-6．
綜上得，M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}，}&{1＜a≤\frac{21}{4}}\\{2a-6，}&{\frac{21}{4}＜a＜6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查函數(shù)單調性的判斷與證明，著重考查函數(shù)的最值的求法，突出分類討論思想與化歸思想的考查，屬于難題