Question

19．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=3S_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=n•a_n，求數列{b_n}的前n項的和．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系、等比數列的通項公式即可得出；
（2）設b_n=n•a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3n•{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，再利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=3S_n（n∈N^*）．
∴a₂=3a₁=3，
當n≥2時，a_n=3S_n-1，可得：a_n+1-a_n=3a_n，化為a_n+1=4a_n，
∴數列{a_n}從第二項開始是等比數列，公比為4．
∴a_n=3×4^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）設b_n=n•a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3n•{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$
∴n≥2時，數列{b_n}的前n項的和T_n=1+3（2+3×4+4×4²+…+n•4^n-2）．
4T_n=4+3[2×4+3×4²+…+（n-1）×4^n-2+n•4^n-1]，
∴-3T_n=-3+3（2+4+4²+…+4^n-2-n•4^n-1），
∴T_n=1-$（1+\frac{{4}^{n-1}-1}{4-1}-n•{4}^{n-1}）$=$\frac{（3n-1）•{4}^{n-1}+1}{3}$．

點評 本題考查了遞推關系、“錯位相減法”、等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．