Question

已知圓：及定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足＝2，·＝．

（1）若，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若動(dòng)圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點(diǎn)，是否存在一組正實(shí)數(shù)，使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實(shí)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）

∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，

又，

或點(diǎn)與點(diǎn)重合．

∴            …………2分

又

∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，

且，

∴

∴G的軌跡方程是    …………6分

(2)解：不存在這樣一組正實(shí)數(shù)，

下面證明：                         …………7分

由題意，若存在這樣的一組正實(shí)數(shù)，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)之為，

故直線的方程為：，設(shè)，中點(diǎn)，

則，兩式相減得：

．…………9分

注意到，

且  ，

則 ，     ②

又點(diǎn)在直線上，

，

代入②式得：．

因?yàn)橄?sub>的中點(diǎn)在⑴所給橢圓內(nèi)，

故，

這與矛盾，

所以所求這組正實(shí)數(shù)不存在．                  …………13分

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

直線的方程為，

則此時(shí)，

代入①式得，

這與是不同兩點(diǎn)矛盾．綜上，所求的這組正實(shí)數(shù)不存在．        …………14分