Question

（本題滿(mǎn)分12分）
設(shè)二次函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有恒成立；數(shù)列滿(mǎn)足.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）試寫(xiě)出一個(gè)區(qū)間，使得當(dāng)時(shí)，且數(shù)列是遞增數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）已知，是否存在非零整數(shù)，使得對(duì)任意，都有
 恒成立，若存在，求之；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）由恒成立等價(jià)于恒成立 ……1分
從而得：，化簡(jiǎn)得，從而得，
所以，                                            ………3分
（2）解：若數(shù)列是遞增數(shù)列，則即：
 ………5分又當(dāng)時(shí)，，
所以有且，所以數(shù)列是遞增數(shù)列。       …………7分
注：本題的區(qū)間也可以是、、、………，等無(wú)窮多個(gè).
（3）由（2）知，從而；
，
即；                                        ………8分
令，則有且；
從而有，可得，所以數(shù)列是為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，         
從而得，即，
所以 ，                          ……………………10分
所以，所以，
所以，
.………………………11分
即，所以，恒成立
（1）  當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為。
（2）  當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為。
所以，對(duì)任意，有。又非零整數(shù)，…………………12分

略