Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD底面是邊長為2的正方形，側面PAD是等邊三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，則側棱PC與底面ABCD夾角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

Answer 1

分析 確定四棱錐的高為$\sqrt{3}$，PC=2$\sqrt{2}$，即可求出側棱PC與底面ABCD夾角的正弦值．

解答 解：∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，側面PAD是等邊三角形，且有側面PAD⊥底面ABCD，
∴四棱錐的高為$\sqrt{3}$，
∵PC=2$\sqrt{2}$，
∴側棱PC與底面ABCD夾角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

點評 本題考查直線與平面夾角的正弦值，考查學生的計算能力，求出四棱錐的高為$\sqrt{3}$，PC=2$\sqrt{2}$是關鍵．