Question

當最小正整數(shù)a的值為

 

時，（a+1）¹⁹被7除的余數(shù)為2．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，將（a+1）¹⁹變形為[（a-6）+7]¹⁹，由二項式定理展開可得，（a+1）¹⁹=[（a-6）+7]¹⁹=7¹⁹+C₁₉¹•（a-6）7¹⁹+C₁₉²•（a-6）²•7¹⁷+…+C₁₉¹⁸•（a-6）¹⁸•7+（a-6），分析可得其展開式中7¹⁹+C₁₉¹•（a-6）7¹⁹+C₁₉²•（a-6）²•7¹⁷+…+C₁₉¹⁸•（a-6）¹⁸•7可以被7整除，又由題意分析可得，（a-6）被7除的余數(shù)為2，即a-6=7k+2，又由a為正整數(shù)，分析可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，（a+1）¹⁹=[（a-6）+7]¹⁹=7¹⁹+C₁₉¹•（a-6）7¹⁹+C₁₉²•（a-6）²•7¹⁷+…+C₁₉¹⁸•（a-6）¹⁸•7+（a-6），
其中7¹⁹+C₁₉¹•（a-6）7¹⁹+C₁₉²•（a-6）²•7¹⁷+…+C₁₉¹⁸•（a-6）¹⁸•7可以被7整除，
若（a+1）¹⁹被7除的余數(shù)為2，必有（a-6）被7除的余數(shù)為2，
則a-6=7k+2，即a=7k+8，
又由a為正整數(shù)，
則k=-1時，a有最小值，其最小值為1，
故答案為1．

點評：本題考查二項式定理的應用，解題的關鍵是將（a+1）¹⁹變形為[（a-6）+7]¹⁹，進而根據(jù)二項式定理展開并分析．